Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Sebelum kita membahas apa hubungan dari sudut pusat dan sudut keliling, kita bahas dulu apa itu sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

Sudut Pusat adalah sudut yang dibentuk oleh 2 jari-jari dan berpotongan pada pusat lingkaran. (Lihat gambar 1)

Sudut Keliling adalah sudut yang dibentuk oleh 2 tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran. (Lihat gambar 2)

Gambar 1

Gambar 2

Hubungan sudut pusat dan sudut keliling

Perhatikan gambar disamping!

Sudut AOB merupakan sudut pusat dan sudut ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AB. Kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Lingkaran di samping memiliki jari-jari OA, OB, OC, OD = r

Misal : sudut AOD = x dan sudut DOB = y, maka besar sudut AOB = sudut AOD + sudut DOB = x + y

Perhatikan segitiga BOC!

Sudut BOC pelurus bagi sudut DOB maka sudut BOC + sudut DOB = 180°, sehingga sudut BOC = 180° - sudut DOB = 180° - y.

Segitiga BOC merupakan segitiga kaki, karena OC dan OB merupakan jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OBC dan OCB sama (misal z).

Sudut OBC + sudut OCB + sudut BOC = 180°

z + z + (180° - y) = 180°

2z - y + 180° = 180°

2z = 180° - 180° + y

2z = y

  z = ½ y

Sekarang perhatikan segitiga AOC!

Sudut AOC pelurus bagi sudut AOD maka sudut AOC + sudut AOD = 180°, sehingga sudut AOC = 180° - sudut AOD = 180° - x.

Segitiga AOC merupakan segitiga kaki, karena OA dan OC merupakan jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OAC dan OCA sama (misal p).

Sudut OAC + sudut OCA + sudut AOC = 180°

p + p + (180° - x) = 180°

2p - x + 180° = 180°

2p = 180° - 180° + x

2p = x

  p = ½ x

Dengan demikian, sudut ACB = sudut OCB + sudut OCA = z + p = ½ y + ½ x = ½ (x + y) = ½ sudut AOB. Maka besar sudut AOB = 2 x sudut ACB.

Karena sudut ACB adalah sudut keliling lingkaran dan sudut AOB sudut pusat lingkaran, maka dapat ditarik kesimpulan :

" Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama, Maka besar sudut pusat = 2 kali besar sudut keliling "

Contoh Soal!!

Pada gambar di samping diketahui besar sudut ACB = 27°

hitung besar sudut AOB!

Jawab:

Besar sudut AOB (sudut pusat) = 2 x ACB (sudut keliling)

= 2 x 27°

=54° 

Semoga Bermanfaat... :)